Question

6．函数f（x）=$\frac{a{x}^{3}}{3}$+$\frac{a{x}^{2}}{2}$-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{16}$）
• B． （-$\frac{8}{5}$，-$\frac{3}{16}$）
• C． （-$\frac{8}{5}$，-$\frac{1}{16}$）
• D． （-$\frac{6}{5}$，-$\frac{3}{16}$）

Answer 1

分析 先求导函数，利用导数求函数的最值，利用最值异号可以求解．

解答 解：∵f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2）．
若a＜0，
则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＜0，
当-2＜x＜1时，f′（x）＞0，
从而有f（-2）＜0，且f（1）＞0，
即：$\left\{\begin{array}{l}{-8a+24a+3＜0}\\{\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}a+1＞0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$，
若a＞0，
则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＞0，
当-2＜x＜1时，f′（x）＜0，
从而有f（-2）＞0，且f（1）＜0，无解，
综合以上：-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$．
故选D．

点评 本题主要考查三次函数的图象，利用导数求函数的最值可以解决．