Question

已知函数f(x)=

e x

x 2   -ax+1

(a≥0)．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）试讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求函数的定义域对于f（x）只要分母不为0即可，注意对参数a进行讨论；
（2）求出定义域后，对f（x）进行求导，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；

解答：解：（1）当a∈[0，2）时，∵△=a²-4＜0，∴x²-ax+1＞0恒成立，
函数f（x）定义域为R，
当a=2，△=a²-4=0，函数f（x）定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
当a∈（2，+∞）时，∵△=a²-4＞0，
x²-ax-1=0的两个根为x₁=

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

，且x₁＜x₂，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，x₁）∪（x₁，x₂）∪（x₂，+∞）
（2）f（x）=

ex(x2-ax+1-2x+a)

(x2-ax+1)2

=

ex[x2-(a+2)x+1+a]

(x2-ax+1)2

=

ex(x-1)(x-a-1)

(x2-ax+1)2

当a=0时，f′（x）=

ex(x-1)2

(x2+1)2

≥0，∴f（x）在R上的单调递增；
当a∈（0，2）时，a+1＞1，∴f（x）在（-∞，1）单调递增；
（1，1+a）单调递减，（1+a，+∞）单调递增；
当a=2时，f′（x）=

ex(x-3)

(x-1)3

，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，3）单调递减，（3，+∞）单调递增；
当a∈（2，+∞）时，0＜x₁＜1＜x₂，
又对称轴x=

a

2

＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，
∴x₂＜a+1，
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）单调递增，（1，x₂），（x₂，a+1）单调递减，（1+a，+∞）单调递增；

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，还考查了分类讨论的思想，这是高考的热点问题；