Question

已知函数y=

ax2+2ax+1

的定义域为R，解关于x的不等式x²-x-a²+a＞0．

Answer 1

分析：由条件可得0≤a≤1，原不等式可化为（x-a）[x-（1-a）]＞0，分0≤a＜

1

2

、a=

1

2

、

1

2

＜a≤1三种情况，分别求出不等式的解集．

解答：解：因为函数y=

ax2+2ax+1

的定义域为R，所以ax²+2ax+1≥0恒成立．（*）…（2分）
当a=0时，1≥0恒成立，满足题意，…（3分）
当a≠0时，为满足（*）必有a＞0且△=4a²-4a≤0，解得0＜a≤1，
综上可知：a的取值范围是0≤a≤1．…（6分）
原不等式可化为（x-a）[x-（1-a）]＞0，
当0≤a＜

1

2

时，不等式的解为：x＜a，或x＞1-a．…（8分）
当a=

1

2

时，不等式的解为：x≠

1

2

．…（9分）
当

1

2

＜a≤1时，不等式的解为：x＜1-a，或x＞a．…（11分）
综上，当0≤a＜

1

2

时，不等式的解集为：{x|x＜a，或x＞1-a}；
当a=

1

2

时，不等式的解集为：{x|x≠

1

2

}；
当

1

2

＜a≤1时，不等式的解集为：{x|x＜1-a或x＞a }．…（12分）

点评：本题主要考查二元一次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．