Question

16．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=log₂a_n+3，求数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推公式、等比数列的定义即可证明；
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵${S_n}=2{a_n}-\frac{1}{2}$，
∴当n=1时，${a}_{1}=2{a}_{1}-\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$2{a}_{n}-\frac{1}{2}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，化为a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为2；
（2）解：由（1）可得${a}_{n}=\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
∴b_n=log₂a_n+3=n-2+3=n+1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查了递推公式、等比数列的定义、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．