Question

15．化简：
（1）3$\sqrt{15}$sinx+3$\sqrt{5}$cosx；（2）$\frac{3}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx；
（3）$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$；（4）$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{6}}{4}$cos（$\frac{π}{4}$-x）

Answer 1

分析 由两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可化简求解．

解答 解：（1）3$\sqrt{15}$sinx+3$\sqrt{5}$cosx=6$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=6$\sqrt{5}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
（2）$\frac{3}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）；
（3）$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）；
（4）$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{6}}{4}$cos（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{4}$-x）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{7π}{12}$-x）．

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式、余弦函数公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．