Question

【题目】已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.

（1）求曲线G的方程;

（2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）四边形OMDN的面积是定值,其定值为.

【解析】

（1）根据三角形内切圆的性质证得，由此判断出点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线的方程.

（2）将直线的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形的面积，两种情况下四边形的面积都为，由此证得四边形的面积为定值.

（1）因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|

所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆（点不在轴上）,

所以c,a=2,b,

所以曲线G的方程为,

（2）因为，故四边形为平行四边形.

当直线l的斜率不存在时，则四边形为为菱形，

故直线MN的方程为x=﹣1或x=1,

此时可求得四边形OMDN的面积为.

当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,

代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,

∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|

点O到直线MN的距离d,

由,得xD,yD，

∵点D在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得1+2k2=2m2,

由题意四边形OMDN为平行四边形,

∴OMDN的面积为S,

由1+2k2=2m2得S,

故四边形OMDN的面积是定值,其定值为.