Question

已知四边形ABCD是菱形，DA=DB=2，DD₁⊥面ABCD，点P为线段OD₁上的任一点．
（1）若DD₁=2，DP⊥OD₁，求OD与面D₁AC所成角的正切值；
（2）若二面角C-AD₁-D的平面角的余弦值为

15

5

，求线段DD₁的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出OD与面D₁AC所成角为∠DOP．由此能求出OD与面D₁AC所成角的正切值．
（2）建立空间直角坐标系oxyz，利用向量法能能求出线段DD₁的长．

解答： 解：（1）∵AC、BD为四边形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD．
又DD₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥DD₁．
∵DD₁∩DB=D，DD₁?面D₁DB，DB?面D₁DB，∴AC⊥面D₁DB．
∵DP?面D₁DB，∴DP⊥AC，且DP⊥OD₁，
∴DP⊥面D₁AC．∴OD与面D₁AC所成角为∠DOP．
由条件DD₁=2，DO=1，∴tan∠DOP=

DD1

DO

=2，
∴OD与面D₁AC所成角的正切值为2．
（2）如图建立空间直角坐标系oxyz，
则A(

3

，0，0)，D（0，-1，0），D₁（0，-1，2），

AD

=(-

3

，-1，0)，

AD1

=（-

3

，-1，2），
面D₁DA的一个法向量

n1

=（x，y，z），
则

n1 • AD =- 3 x-y=0 n1 • AD1 =- 3 x-y+2z=0

，取x=1，得

n1

=(1，-

3

，0)．
设线段DD₁的长为z₀，∴D₁（0，-1，z₀），

AD1

=(-

3

，-1，z0)，

AC

=(-2

3

，0，0)，
设面AD₁C的一个法向量

n2

=(x，y，z)．
由

AD1 • n2 =0 AC • n2 =0

，可得：

3 x+y-z0z=0 x=0

，
由x=0，y=z₀z，得

n2

=(0，z0，1)，
∵二面角C-AD₁-D的平面角的余弦值为

15

5

，
∴

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

3 z0

2 z02+1

=

15

5

，
可解得：z₀=2，即：线段DD₁的长为2．

点评：本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．