Question

已知三棱锥O-ABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O-ABC的体积为

5

4

，则球O的表面积是（　　）

• A、544π
• B、16π
• C、

  32

  3

  π
• D、64π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．

解答： 解：三棱锥O-ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，BC=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×1×1×sin120°=

3

4

，
∵三棱锥O-ABC的体积为

5

4

，
△ABC的外接圆的圆心为G，
∴OG⊥⊙G，
外接圆的半径为：GA=

3

2sin120°

=1，
∴

1

3

S_△ABC•OG=

5

4

，即

1

3

×

3

4

OG=

5

4

，
OG=

15

，
球的半径为：

AG2+OG2

=4．
球的表面积：4π4²=64π．
故选：D

点评：本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．