Question

已知P为椭圆

x2

4

+y2=1和双曲线x2-

y2

2

=1的一个交点，F₁，F₂为椭圆的焦点，那么

PF1

•

PF2

=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，可由椭圆及双曲线的定义得出

PF1

+

PF2

=4，

PF1

-

PF2

=2，F₁F₂=2

3

，再利用余弦定理解出cos∠F₁PF₂，再求

PF1

•

PF2

．

解答： 解：由题意，不妨令点P在y轴的右侧，则有

PF1

+

PF2

=4，

PF1

-

PF2

=2
二者联立解得

PF1

=3，

PF2

=1，又F₁F₂=2

3

由余弦定理得cos∠F₁PF₂=

32+12-(2 3 )2

2×2×1

=-

1

2

故

PF1

•

PF2

=3×1×（-

1

2

）=-

3

2

．
故答案为-

3

2

．

点评：本题考查双曲线与椭圆的性质，余弦定理，属于数学基本题，必会题．