Question

已知圆C₁：x²+y²+D₁x+8y-8=0，圆C₂：x²+y²+D₂x-4y-2=0．
（1）若D₁=2，D₂=-4，求圆C₁与圆C₂的公共弦所在的直线l₁的方程；
（2）在（1）的条件下，已知P（-3，m）是直线l₁上一点，过点P分别作直线与圆C₁、圆C₂相切，切点为A、B，求证：|PA|=|PB|；
（3）将圆C₁、圆C₂的方程相减得一直线l₂：（D₁-D₂）x+12y-6=0．Q是直线l₂上，且在圆C₁、圆C₂外部的任意一点．过点Q分别作直线QM、QN与圆C₁、圆C₂相切，切点为M、N，试探究|QM|与|QN|的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．
（2）求出两个圆的圆心坐标与半径，求出两个切线长即可证明结果．
（3）求出两个圆的圆心坐标与半径，利用切线长与半径的垂直关系，比较|QM|与|QN|的关系．

解答：解：（1）由题意，∵D₁=2，D₂=-4，
∴圆C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，圆C₂：x²+y²-4x-4y-2=0相交，
∴两圆的方程作差得6x+12y-6=0，
即公式弦所在直线方程为x+2y-1=0．
（2）P（-3，m）是直线l₁上一点，所以m=2
过点P分别作直线与圆C₁、圆C₂相切，切点为A、B，
圆C₁的圆心坐标（-1，-4），半径为：5；
圆C₂的圆心坐标（2，2），半径为：

10

．
所以PA²=（-1+3）²+（-4-2）²-25=15．
PB²=（2+3）²+（2-2）²-10=15．
所以|PA|=|PB|；
（3）圆C₁x²+y²+D₁x+8y-8=0，圆心坐标（-

D1

2

，-4），半径为：

D 2 1 4 +24

；
圆C₂：x²+y²+D₂x-4y-2=0，圆心坐标（-

D2

2

，2），半径为：

D 2 2 2 +6

．
直线l₂：（D₁-D₂）x+12y-6=0．Q是直线l₂上，设Q（

6

D1-D2

，

1

2

），
|QM|²=(

6

D1-D2

+

D1

2

)2+36+

D12

4

+24与|QN|²=(

6

D1-D2

+

D2

2

)2+

9

4

+

D22

4

+6，
|QM|²-|QN|²=

D 2 1

4

-

D 2 2

4

-

231

4

，
当

D

2 2

-D

2 1

=231时，|QM|=|QN|，
当

D

2 2

-D

2 1

＜231时，|QM|＞|QN|，
当

D

2 2

-D

2 1

＞231时，|QM|＜|QN|．

点评：本题考查圆的方程的综合应用与圆的位置关系，考查发现问题与解决问题的能力．