Question

（本小题满分13分）椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．

（1）请探求与的关系；

（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先根据椭圆的定义得到的周长为，进而结合，，成等差数列得出，然后联立直线与椭圆的方程，消去，得到，进而得出，再利用弦长公式计算出，化简即可得出的关系；（2）结合（1）中得出的关系，得到中点的坐标，然后根据，即可计算出的取值，写出椭圆的方程即可.

试题解析：（1）由题设，得， 由椭圆定义，所以．

设，，，，代入椭圆的方程

整理得（*）

所以

则

于是有，化简，得，故

（2）由（1）有，方程（*）可化为

设中点为，则

又，于是． 由知为的中垂线，

由，得，解得，

故椭圆的方程为．

考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的标准方程及其几何性质；3.二次方程根与系数的关系；4.两直线垂直的充要条件.

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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