Question

已知函数f（x）=x³+x²-2ax-3．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为其定义域为R．
f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=--2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=-．
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．
分析：（Ⅰ）当a=1时f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判断f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，f（-2）=--2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数的单调性．
点评：本小题主要考查导数的计算，应用导数研究函数的单调性，不等式的证明等，考查综合运用数学知识解决问题的能力．