Question

16．已知函数f（x）=sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[$\frac{π}{2}$，π]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，由T=$\frac{2π}{ω}$求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）在x∈[$\frac{π}{2}$，π]上的最大值与最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$
=$\frac{1-cosx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$
=sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由T=$\frac{2π}{ω}$=2π，
知f（x）的最小正周期是2π；
（Ⅱ）由f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
且x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1≤sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
∴当x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$，
x=π时，f（x）取得最小值1．

点评 本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．