Question

1．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），数列b_n=$\frac{{{{log}_2}（1+{a_n}）}}{{1+{a_n}}}（n∈{N^*}$），T_n=b₁+b₂+…+b_n，则T₁₀的值为（　　）

• A． $\frac{245}{128}$
• B． $\frac{509}{256}$
• C． $\frac{1003}{512}$
• D． $\frac{2013}{1024}$

Answer 1

分析 利用累加法先求出数列{a_n}的通项公式，利用数列的递推关系求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a₂-a₁=2，
a₃-a₂=2²，
a₄-a₃=2³，
…
a_n-a_n-1=2^n-1，
等式两边同时相加得：
a_n-a₁=2+2²+2³+…2^n-1，
即a_n=a₁+2+2²+2³+…2^n-1=1+2+2²+2³+…2^n-1=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
b_n=$\frac{{{{log}_2}（1+{a_n}）}}{{1+{a_n}}}（n∈{N^*}$）=$\frac{lo{g}_{2}（1+{2}^{n}-1）}{1+{2}^{n}-1}$=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
则T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
则$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
则T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
则T₁₀=2-$\frac{12}{{2}^{10}}$=2-$\frac{3}{{2}^{8}}$=2-$\frac{3}{256}$=$\frac{509}{256}$．
故选：B

点评 本题主要考查数列通项公式的求解以及利用错位相减法进行求解，利用累加法求出数列的通项公式是解决本题的关键．