Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足4bsinA=$\sqrt{7}$a，若a，b，c成等差数列，且公差大于0，则cosA-cosC的值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 4bsinA=$\sqrt{7}$a，由正弦定理可得：4sinBsinA=$\sqrt{7}$sinA，解得sinB．由a，b，c成等差数列，且公差大于0，可得2b=a+c，A＜B＜C．B为锐角，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$．
可得sinA+sinC=2sinB．设cosA-cosC=m＞0，平方相加化简即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵4bsinA=$\sqrt{7}$a，由正弦定理可得：4sinBsinA=$\sqrt{7}$sinA，sinA≠0，解得sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∵a，b，c成等差数列，且公差大于0，
∴2b=a+c，A＜B＜C．
∴B为锐角，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$．
∴sinA+sinC=2sinB=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
设cosA-cosC=m＞0，
平方相加可得：2-2cos（A+C）=${m}^{2}+\frac{7}{4}$，
∴2+2cosB=${m}^{2}+\frac{7}{4}$，
∴m²=$\frac{7}{4}$，
解得m=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、等差数列的性质、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．