Question

已知函数f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

其中集合P，M是非空数集．设．f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}
（I）若 P=[l，3]，M=（-∞，-2]，求f（P）∪f（M）；
（II）若P∩M=φ，a函数f（x）是定义在R上的单调递增函数，求集合P，M
（III）判断命题“若P∪M≠R，则．f（P）∪f（M）≠R”的真假，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由P=[1，3]，M=（-∞，-2），f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

可求f（P）=[1，3]，f（M）=[2，+∞），从而可求
（II）由f（x）是R上的增函数，且f（0）=0可得，x＜0时，f（x）＜0，即（-∞，0）⊆P，（0，+∞）⊆P，结合P∩M=∅可求
（III）利用反证法：假设存在P，M且P∪M≠R，则有f（P）∪f（M）=R，由P∪M≠R进行推理，看是否产生矛盾

解答：解：（I）∵P=[1，3]，M=（-∞，-2）
∴f（P）=[1，3]，f（M）=[2，+∞）
∴f（P）∪f（M）=[1，+∞）（3分）
（II）因为函数f（x）是R上的增函数，且f（0）=0
所以当x＜0时，f（x）＜0，所以（-∞，0）⊆P
同理可知，（0，+∞）⊆P
因为P∩M=∅
所以P={x|x≠0}．M={0}（6分）
（III）原命题为真命题，理由如下：（8分）
假设存在P，M且P∪M≠R，则有f（P）∪f（M）=R
因为P∪M≠R
若0∉P∪M
则0∉f（P）∪f（M）
∴f（P）∪f（M）≠R与f（P）∪f（M）=R矛盾
若存在x₀∉P∪M且则x₀∉P∪M且x₀≠0，则x₀∉f（P），-x₀∉f（M）
因为f（p）∪f（M）=R
所以-x₀∈f（P），x₀∈f（M）
所以-x₀∈P，-x₀∈M
由函数的定义可得，-x₀=x₀即x₀=0与x₀≠0矛盾
所以命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R为真命题（14分）

点评：本题以函数的新定义为载体，主要考查了考试综合应用函数性质及题目中新的信息的能力，试题具有一定的难度．