Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤1）}\\{lo{g}_{3}x（x＞1）}\end{array}\right.$，若f[f（$\frac{1}{a}$）]=2，则a=3^-1或3^-9．

Answer 1

分析 由题意得${2}^{f（\frac{1}{a}）}$=2或log₃f（$\frac{1}{a}$）=2，从而可得f（$\frac{1}{a}$）=1或f（$\frac{1}{a}$）=9，再分别代入求之即可．

解答 解：∵f[f（$\frac{1}{a}$）]=2，
∴${2}^{f（\frac{1}{a}）}$=2或log₃f（$\frac{1}{a}$）=2，
∴f（$\frac{1}{a}$）=1或f（$\frac{1}{a}$）=9，
若f（$\frac{1}{a}$）=1，
则${2}^{\frac{1}{a}}$=1或log₃$\frac{1}{a}$=1，
故$\frac{1}{a}$=3，即a=3^-1，
若f（$\frac{1}{a}$）=9，
则${2}^{\frac{1}{a}}$=9或log₃$\frac{1}{a}$=9，
故$\frac{1}{a}$=log₂9＞1或$\frac{1}{a}$=3⁹，
即a=3^-9，
故答案为：3^-1或3^-9．

点评 本题考查了复合函数的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了整体思想的应用．