Question

如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，
.
（1）求证：；
（2）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得，，所以利用线面平行的判定得平面，再利用线面垂直的性质，得；第二问，可以利用传统几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面和平面的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段的长度..
（1）证明：∵底面和侧面是矩形，
∴，
又∵
∴平面   3分
∵平面∴ ．        6分
（2）

解法1：延长，交于，连结，
则平面平面
底面是矩形，是 的中点，，∴连结，则
又由（1）可知
又∵，
∴底面，∴∴平面             9
过作于，连结，则是平面与平面即平面与平面所成锐二面角的平面角，所以
又，∴
又易得，，从而由，求得．                   12分
解法2：由（1）可知
又∵，∴底面                                7分
设为的中点，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图．                                        8分

设，则，，，， 
设平面的一个法向量
∵，
由，得
令，得                                                           9分
设平面法向量为，因为 ，，
由 得令，得．                  10分
由平面与平面所成的锐二面角的大小为，
得 ，解得． 即线段的长度为．  12分