Question

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求证：平面MOE∥平面PAC.
(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.
(3)设二面角M—BP—C的大小为θ，求cos θ的值．

Answer 1

（1）见解析  （2）见解析  （3）

(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA.
因为PA?平面PAC，OE?平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
因为OM∥AC，
因为AC?平面PAC，OM?平面PAC，
所以OM∥平面PAC.
因为OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O，
所以平面MOE∥平面PAC.
(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因为PA⊥平面BAC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC?平面PCB，
所以平面PAC⊥平面PCB.
(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C—xyz.

因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，
所以CB＝2cos 30°＝，AC＝1.
延长MO交CB于点D.
因为OM∥AC，
所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，
CD＝CB＝.
所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，，0)，M.
所以＝(1,0,2)，＝(0，，0)．
设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．
因为
所以，即
令z＝1，则x＝－2，y＝0.
所以m＝(－2,0,1)．
同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，，1)．
所以cos〈m，n〉＝＝－.
因为二面角M—BP—C为锐二面角，所以cos θ＝.