Question

8．方程（1+$\frac{1}{x}$）^x+1=（1+$\frac{1}{2009}$）²⁰⁰⁹的整数解的个数是（　　）

• A． 仅有一个
• B． 0
• C． 有限的（大于1个）
• D． 无穷多

Answer 1

分析 根据${（1+\frac{1}{x}）}^{x+1}$=${（\frac{x+1}{x}）}^{x+1}$=${（\frac{y+1}{y}）}^{y}$，得到当且仅当y=2009时，${（\frac{y+1}{y}）}^{y}$=${（\frac{2010}{2009}）}^{2009}$，从而求出x的值，得到答案．

解答 解：${（1+\frac{1}{x}）}^{x+1}$=$\frac{{（x+1）}^{x+1}}{{x}^{x+1}}$，
${（1+\frac{1}{2009}）}^{2009}$=$\frac{{2010}^{2009}}{{2009}^{2009}}$，
x＞0，即x∈N^*时，
∵$\frac{x+1}{x}$，$\frac{2010}{2009}$都是既约分数，
∴对于任意正整数，x，x+1≠2009²⁰⁰⁹，
故原方程无解，
x=0或-1，显然也不是方程的解，
当x＜-1时，令y=-（x+1），
则${（1+\frac{1}{x}）}^{x+1}$=${（\frac{x+1}{x}）}^{x+1}$=${（\frac{y+1}{y}）}^{y}$，
当且仅当y=2009时，${（\frac{y+1}{y}）}^{y}$=${（\frac{2010}{2009}）}^{2009}$，
故原方程有唯一解x=-2010，
故选：A．

点评 本题考查了根的存在性问题，考查转化思想，是一道中档题．