Question

已知函数f（x）的定义域为（-1，1），且，对任意x，y∈（-1，1），都有，数列{a_n}满足．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）求数列{f（a_n）}的通项公式；
（3）令，证明：当n≥2时，．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y，则得f（0）=0，再令x=0，则得0-f（y）=f（-y），故函数f（x）是奇函数．
（2）令y=-x，可得f（x）=•f（），故有f（a_n）=•f（）=f（a_n+1），故数列{f（a_n）}是公比等于2的等比数列，首项为  f（）=1，由此求得f（a_n）的解析式．
（3）先求出a₂=，易证n=2时，不等式成立，假设 ，先证明数列{a_n}为增数列，
可得 ＜a_n＜1，故有|a_i-a_k+1|＜．用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立，命题得证．
解答：解：（1）证明：∵，任取x，y属于（-1，1）且x=y，则有f（x）-f（x）=f（0）=0．
令x=0，则 0-f（y）=f（-y），即 f（-y）=-f（y），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）在中，令y=-x，可得 f（x）-f（-x）=f（），即 f（x）=•f（）．
∴f（a_n）=•f（）=f（a_n+1），
故数列{f（a_n）}是公比等于2的等比数列，首项为  f（）=1，
故f（a_n）=1×2^n-1=2^n-1．
（3）由 可得 a₂=，
∵，
故当n=2时，|-|=|a₁+a₂-a₁-|=||＜==，故当n=2时，不等式成立．
假设当n=k时，不等式成立，即 ，
则 =|+a_k+1-A_k+1|＜+|a_k+1-A_k+1|
＜+||．
由于＜1，故有a_n+1-a_n=＞0，故数列{a_n}为增数列．
故当n≥2时，＜a_n＜1，∴|a_i-a_k+1|＜，i=1，2，3…k．
∴+||
≤+||+||+…+||=+k×＜+=．
故当n=k+1时，成立．
综上可得 成立．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，数列与不等式综合，利用数列的递推关系求通项公式，用数学归纳法和放缩法证明不等式，属于难题．