Question

已知函数F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）、g（x）分别为正、反比例函数，且F(1)=3，F(2)=

9

2

．
（Ⅰ）求函数F（x）的解析式；　　
（Ⅱ）判断函数F（x）在[

2

2

，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设f(x)=k1x，g(x)=

k2

x

，由F（1）=3，F（2）=

9

2

可得方程组，解出后可求得F（x）；
（Ⅱ）设

2

2

≤x1＜x2，利用作差可判断F（x₂）与F（x₁）的大小，根据单调性的定义即可作出判断；

解答：解：（Ⅰ）设f(x)=k1x，g(x)=

k2

x

，
由

F(1)=k1+k2=3 F(3)=2k1+ k2 2 = 9 2

，解得

k1=2 k2=1

，
∴F（x）=2x+

1

x

；
（Ⅱ）设

2

2

≤x1＜x2，
则F（x₂）-F（x₁）=2x2+

1

x2

-（2x₁+

1

x1

）
=

(x2-x1)(2x1x2-1)

x1x2

，
∵

2

2

≤x1＜x2，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，2x₁x₂＞1，
∴F（x₂）-F（x₁）＞0，即F（x₂）＞F（x₁），
∴F（x）在[

2

2

，+∞）上单调递增．

点评：本题考查函数解析式的求法、函数单调性的判断，属基础题，定义是判断单调性的基本方法，若已知函数类型求解析式，常用待定系数法解决．