Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F₁、F₂，过其左焦点F₁作x轴的垂线交双曲线于P、Q两点，连接PF₂交右支于M点，若|PM|=3|MF₂|，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设双曲线的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），求得P的坐标，再由|PM|=3|MF₂|，可得$\overrightarrow{PM}$=3$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，运用向量共线的坐标表示，可得M的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式和a，b，c的关系，即可得到离心率．

解答 解：设双曲线的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
令x=-c，则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可设P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），M（m，n），
由|PM|=3|MF₂|，可得$\overrightarrow{PM}$=3$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，
即有（m+c，n-$\frac{{b}^{2}}{a}$）=3（c-m，-n），
可得m=$\frac{1}{2}$c，n=$\frac{{b}^{2}}{4a}$．
即有M（$\frac{1}{2}$c，$\frac{{b}^{2}}{4a}$），
代入双曲线方程，可得$\frac{1}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{b}^{2}}{16{a}^{2}}$=1，
由a²+b²=c²，e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{1}{4}$e²-$\frac{{e}^{2}-1}{16}$=1，
解得e=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查向量共线的坐标表示和点满足双曲线方程，考查运算能力，属于中档题．