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(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,PA⊥平面ABC,DB的中点,
(Ⅰ)证明:AEBC
(Ⅱ)线段BC上是否存在一点F使得PF与面DBC所成的角为,若存在,试确定点F的位置,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)证明见解析
(Ⅱ)F为BC的中点
证明:(I)取BC的中点O,连接EO,AO,
EO//DC所以EO⊥BC ………………………………………………………………….…1分
因为为等边三角形,所以BC⊥AO ……………………………………………3分
所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE  …………………………………………………………4分
(II)方法一:连接PE,因为面BCD⊥面ABC,DC⊥BC
所以DC⊥面ABC,而EODC
所以EOPA,故四边形APEO为矩形 …………………………………………7分
易证PE⊥面BCD,连接EF,则PFE为PF与面DBC所成的角,即PFE=…9分
在Rt△ PEF中,因为PE =AO=BC,故EF=BC,
因为BC=DC,所以EF=DC,又E为BD的中点,
所以F为BC的中点……………………………………………………………………..12分
方法二:以BC的中点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,
OE所在的直线为z轴建立空间坐标系,不妨设BC=2,则,设
,………………………………………………………………………7分
而平面BCD的一个法向量,则由
,………………………………………………………………………..9分
解得y=0,故F为BC的中点。……………………………………………………..12
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