Question

18．已知数列{a_n}，a₁=3，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，n∈N₊，求a_n．

Answer 1

分析 通过将等式a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$两边同时减1可知a_n+1-1=$\frac{{a}_{n}-1}{2-{a}_{n}}$，再对其两边同时取导数可知$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-1，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、-1为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，n∈N₊，
∴a_n+1-1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$-1=$\frac{{a}_{n}-1}{2-{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{2-{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{3-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、-1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$-（n-1）=$\frac{3-2n}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{3-2n}$+1=$\frac{-2n+5}{-2n+3}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．