Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤-2}\\{{x}^{2}+2x，-2＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}\right.$
（1）f（-5），f（-$\sqrt{3}$），f（f（-$\frac{5}{2}$））的值．
（2）若f（a）=3，求实数a的值．
（3）若f（m）＞m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤-2}\\{{x}^{2}+2x，-2＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}\right.$，代入求值，可得答案；
（2）分类讨论解方程f（a）=3，最后综合讨论结果可得答案；
（3）分类讨论解不等式f（m）＞m，最后综合讨论结果可得答案；

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤-2}\\{{x}^{2}+2x，-2＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}\right.$
∴f（-5）=-4，
f（-$\sqrt{3}$）=3-2$\sqrt{3}$，
f（f（-$\frac{5}{2}$））=f（-$\frac{3}{2}$）=$-\frac{3}{4}$．
（2）若f（a）=3，
当a≤-2时，a+1=3，解得a=2（舍去），
当-2＜a＜2时，a²+2a=3，解得a=-3（舍去），或a=1，
当a≥2时，2a-1=3，解得a=2，
综上所述，a=1，或a=2．
（3）当m≤-2时，m+1＞m恒成立，
当-2＜m＜2时，m²+2m＞m，解得m＜-1，或m＞0，
∴-2＜m＜-1，或0＜m＜2
当m≥2时，2m-1＞m恒成立，
综上满足f（m）＞m的实数m的取值范围为m＜-1，或m＞0．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次不等式的解法，函数的值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．