【题目】已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是
【答案】
【解析】解:设正△ABC的中心为O1 , 连结O1O、O1C、O1E、OE,
∵O1是正△ABC的中心,A、B、C三点都在球面上,
∴O1O⊥平面ABC,结合O1C平面ABC,可得O1O⊥O1C,
∵球的半径R=2,球心O到平面ABC的距离为1,得O1O=1,
∴Rt△O1OC中,O1C=
又∵E为AB的中点,∴Rt△O1EC中,O1E=O1C= .
∴Rt△OO1E中,OE=
∵过E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的半径最小,
∴当截面与OE垂直时,截面圆的面积有最小值.
此时截面圆的半径r=
可得截面面积为S=πr2= .
故答案为: .
设正△ABC的中心为O1 , 连结O1O、O1C、O1E、OE.根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理,结合题中数据算出OE.而经过点E的球O的截面,当截面与OE垂直时截面圆的半径最小,相应地截面圆的面积有最小值,由此算出截面圆半径的最小值,从而可得截面面积的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3﹣x).
(Ⅰ)求函数y=f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数y=f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)若f(2m﹣1)<f(m),求m的取值范围.
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【题目】已知函数, (其中).对于不相等的实数,设, .现有如下命题:
(1)对于任意不相等的实数,都有;
(2)对于任意的a及任意不相等的实数,都有;
(3)对于任意的a,存在不相等的实数,使得;
(4)对于任意的a,存在不相等的实数,使得.
其中的真命题有_____________(写出所有真命题的序号).
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【题目】现有正整数构成的数表如下:
第一行:1
第二行:1 2
第三行:1 1 2 3
第四行:1 1 2 1 1 2 3 4
第五行:1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5
…… …… ……
第行:先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,...,直至按原序抄写第行,最后添上数.(如第四行,先抄写第一行的数1,接着按原序抄写第二行的数1,2,接着按原序抄写第三行的数1,1,2,3,最后添上数4).
将按照上述方式写下的第个数记作(如)
(1)用表示数表第行的数的个数,求数列的前项和;
(2)第8行中的数是否超过73个?若是,用表示第8行中的第73个数,试求和的值;若不是,请说明理由;
(3)令,求的值.
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【题目】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点, .
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知点是椭圆: 上的一点,椭圆的右焦点为,斜率为的直线交椭圆于、两点,且、、三点互不重合.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线, 的斜率之和为定值.
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【题目】在正方体中, 为棱上一动点, 为底面上一动点, 是的中点,若点都运动时,点构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是( )
A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分
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