Question

【题目】设函数．

（1）当时，设，求证：对任意的，；

（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）当时，原不等式等价于．令，求导后可知函数在上单调递增，所以，得证；（2）当时，原不等式等价于，令，，对求导后对分成，两类讨论，可求得实数的取值范围为．

试题解析：

（1）当时，，

所以等价于．

令，则，可知函数在上单调递增，

所以，即，亦即

（2）当时，，．

所以不等式等价于．

方法一：令，，

则．

当时，，则函数在上单调递增，所以，

所以根据题意，知有，∴

当时，由，知函数在上单调减；

由，知函数在上单调递增．

所以．

由条件知，，即．

设，，则，，

所以在上单调递减．

又，所以与条件矛盾．

综上可知，实数的取值范围为．

方法二：令，，

则在上恒成立，所以，

所以．

又，

显然当时，，则函数在上单调递增，所以，所以．

综上可知的取值范围为．