(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若x>-1,求证:1-≤ln(x+1)≤x.
(1)解:函数f(x)的定义域为(-1,+∞).
f′(x)=
由f′(x)<0及x>-1,得x>0.
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,
即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).
(2)证明:由(1)知,当x∈(-1,0)时,f′(x)>0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0.
因此,当x>-1时,f(x)≤f(0),即ln(x+1)-x≤0.
∴ln(x+1)≤x.
令g(x)=ln(x+1)+-1,则g′(x)=
当x∈(-1,0)时,g′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0.
∴当x>-1时,g(x)≥g(0),即ln(x+1)+-1≥0,即ln(x+1)≥1-.
综上,可知当x>-1时,有1-≤ln(x+1)≤x.
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f′(x) |
x |
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