Question

【题目】已知直线l的参数方程为 为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为 ，且直线l经过椭圆C的右焦点F．
（1）求椭圆C的内接矩形PMNQ面积的最大值；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA||FB|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆C化为5ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=45，∴5x2+9y2=45，

∴椭圆的标准方程： ．设椭圆C的内接矩形PMNQ中，P的坐标为 ，

∴ ．

∴椭圆C的内接矩形PMNQ面积最大值为

（2）解：由椭圆C的方程 ，得椭圆C的右焦点F（2，0），由直线l经过右焦点F（2，0），得m=2，

易得直线l的参数方程可化为 为参数），代入到5x2+9y2=45，整理得，8t2+10t﹣25=0，

∴ ，即 ．

|FA||FB|的值

【解析】（1）将椭圆的极坐标方程转化成标准方程，设P点坐标，根据二倍角公式及正弦函数的性质，即可求得椭圆C的内接矩形PMNQ面积的最大值；（2）将参数方程代入椭圆的标准方程，由韦达定理即可求得 ，即可求得|FA||FB|的值．