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已知A(1,0),B(4,0),动点T(x,y)满足,设动点T的轨迹是曲线C,直线l:y=kx+1与曲线C交于P,Q两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)若,求实数k的值;
(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直,且直线l1与曲线C交于M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值.
【答案】分析:(1)设D(x,y)为曲线C上任一点,由动点T(x,y)满足,利用两点间距离公式能求出曲线C的方程.
(2)因为,所以,∠POQ=120°,由此利用圆心到直线l:kx-y+1=0的距离能求出k.
(3)当k=0时,四边形PMQN面积为4.当k≠0时,圆心到直线l:kx-y+1=0的距离,SPMQN==2,由此能求出四边形PMQN面积最大值.
解答:解:(1)设D(x,y)为曲线C上任一点,
∵动点T(x,y)满足

化简整理得x2+y2=4.
∴曲线C的方程为x2+y2=4.(3分)
(2)因为
所以,∠POQ=120°,
所以圆心到直线l:kx-y+1=0的距离
所以k=0.(6分)
(3)当k=0时,
当k≠0时,圆心到直线l:kx-y+1=0的距离
所以
同理得
∴SPMQN==2
S=2≤2×=7,
当且仅当k=±1时取等号,
∴当k=±1时,Smax=7,
综上所述,当k=±1时,四边形PMQN面积有最大值7.
点评:本题考查曲线方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,考查四边形面积的最大值的求法,解题时要认真审题,注意向量知识、两点间距离公式、点到直线的距离公式等知识点的合理运用.
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|TA|
|TB|
=
1
2
,设动点T的轨迹是曲线C,直线l:y=kx+1与曲线C交于P,Q两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)若
OP
OQ
=-2
,求实数k的值;
(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直,且直线l1与曲线C交于M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值.

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