Question

在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

(1)求圆C的方程.

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.

 

Answer 1

（1）(x+2)2+(y-2)2=8. （2）存在，Q

【解析】(1)设圆C的圆心为A(p,q),

则圆C的方程为(x-p)2+(y-q)2=8.

因为直线y=x与圆C相切于坐标原点O,

所以O在圆C上,且直线OA垂直于直线y=x.

于是有⇒或

由于点A(p,q)在第二象限,故p<0.

所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

(2)因为椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,所以2a=10⇒a=5,故椭圆右焦点为F(4,0).

若圆C上存在异于原点的点Q(x0,y0)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,则有|QF|=|OF|,于是(x0-4)2+=42,且+≠0.①

由于Q(x0,y0)在圆上,故有(x0+2)2+(y0-2)2=8.②

解①和②得

故圆C上存在满足条件的点Q.