Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AB=AC=AA₁．
（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）若点D为B₁C₁的中点，求AD与平面A₁BC₁所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由题意所给的条件，结合线面垂直的判定定理可得结论；
（Ⅱ）确定AD，C₁O的交点G为△AB₁C₁的重心，可得∠AGO是AD与平面A₁BC₁所成角，即可求出AD与平面A₁BC₁所成角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁．
又 A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁∩A₁B₁=A₁
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B．
∴A₁C₁⊥AB₁
又四边形AA₁B₁B是正方形，AB₁⊥A₁B，A₁B∩A₁C₁=A₁
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
（Ⅱ）设AB₁∩BA₁=O，连结AC₁，
∵AB=AC=AA₁=a，A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴△AB₁C₁是正三角形，
∵AD，C₁O是△AB₁C₁的中线，
∴AD，C₁O的交点G为△AB₁C₁的重心，
∴∠AGO是AD与平面A₁BC₁所成角，
在Rt△AOG中，AG=

2

3

AD=

6

3

AB，AO=

2

2

AB，
∴sin∠AGO=

3

2

，∴∠AGO=60°，即AD与平面A₁BC₁所成角为60°．

点评：本题考查直线与平面所成的角，考查线面垂直的判定，属中档题．