Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1\begin{array}{l}，{\;\;x}\end{array}≤0，\\{log_2}x\begin{array}{l}，{x＞0，}\end{array}\end{array}$则函数g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$的零点个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 作出函数的图象，先求出f（x）=$\frac{1}{2}$的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
当x≤0时，由f（x）=$\frac{1}{2}$得x+1=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
当x＞0时，由f（x）=$\frac{1}{2}$得log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
由g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$=0得f（f（x））=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=-$\frac{1}{2}$或f（x）=$\sqrt{2}$，
若f（x）=-$\frac{1}{2}$，此时方程f（x）=-$\frac{1}{2}$有两个交点，
若f（x）=$\sqrt{2}$，此时方程f（x）=$\sqrt{2}$只有一个交点，
则数g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$的零点个数是3个，
故选：B

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系将条件转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．