Question

7．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，其焦距4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P在椭圆上，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，且满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=t，求实数t的范围；
（3）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆交于M，N两点，与y轴交于点R，若$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$，试判断λ+μ是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设P（m，n），求得椭圆的两焦点，运用向量的数量积的坐标表示，再由椭圆的参数方程，结合同角的平方关系和余弦函数的值域，即可得到所求范围；
（3）设出直线l的方程y=k（x-1），把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、向量相等化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，2c=4$\sqrt{2}$，
解得c=2$\sqrt{2}$，a=3，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）设P（m，n），F₁（-2$\sqrt{2}$，0）F₂（2$\sqrt{2}$，0）分别为椭圆的左右焦点，
t=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2$\sqrt{2}$-m，-n）•（2$\sqrt{2}$-m，n）=（-2$\sqrt{2}$-m）（2$\sqrt{2}$-m）+n²，
=m²+n²-8，
设m=3cosα，n=sinα，则m²+n²-8=9cos²α+sin²α-8=8cos²α-7，
由于0≤cos²α≤1，即有t的取值范围是[-7，1]；
（3）λ+μ=-$\frac{9}{4}$，即λ+μ为定值．
理由如下：依题意知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（0，y₃），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$①，x₁•x₂=$\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}$②，
因为$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，所以（x₁，y₁）-（0，y₃）=λ[（1，0）-（x₁，y₁）]，
即 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=λ（1-{x}_{1}）}\\{{y}_{1}-{y}_{3}=-λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，又x₁≠1与x₁≠1轴不垂直，所以x₁≠1，
所以λ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，同理μ=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，
所以λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$，
将①②代入上式可得λ+μ=-$\frac{9}{4}$，即λ+μ为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的相交问题、根与系数的关系、点到直线的距离公式、向量相等及向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．