Question

已知函数f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（1）求f（x）的最小正周期并写出其图象的对称中心的坐标；
（2）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1化简为：f（x）=2sin（2x+

π

6

），即可求其最小正周期及其图象的对称中心的坐标；
（2）由-

π

6

≤x≤

π

4

，可得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，从而可求求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=

3

sin2x+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
所以f（x）的最小正周期为π，
由2x+

π

6

=kπ得：其图象的对称中心的坐标为：（

kπ

2

-

π

12

，0）；
（Ⅱ）因为-

π

6

≤x≤

π

4

，故-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
于是，当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

 时，f（x）取得最大值2；
当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，f（x）取得最小值-1．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查三角函数中的恒等变化及其应用，特别是正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．