Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀） ）为函数y=f（x）的“拐点”；定义：（2）设x₀为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x₀，f（x₀））对称．
（1）己知f（x）=x³-3x²+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．

Answer 1

解：（1）依题意，得：f′（x）=3x²-6x+2，∴f″（x）=6x-6．
由f″（x）=0，即 6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．
而f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+2（1+x）+2+（1-x）³-3（1-x）²+2（1-x）+2
=2+6x²-6-6x²+4+4=4=2f（1），
由定义（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）一般地，三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0）的“拐点”是（-，f（-）），它就是f（x）的对称中心．
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．）
分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．
（2）因为f（1+x）+f（1-x）=2f（1），由定义（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）将（2）的结论进行合情推理，可得结论：三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0）的“拐点”是（-，f（-）），它就是f（x）的对称中心．
点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．