Question

9．已知函数f（x）=sin（$\frac{k}{5}$x+$\frac{π}{3}$），k＞0，求：
（1）函数的最小正周期；
（2）若函数相邻两对称轴之间的距离是5，求k；
（3）试求最小正整数k，使在任意两个整数之间上的函数图象与x轴至少有两个交点．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期，
（2）由题意可得函数的周期为$\frac{10π}{k}$=10，由此求得k的值．
（3）根据题意可得$\frac{k}{5}$+$\frac{π}{3}$≥2π，求得k≥$\frac{25π}{3}$，可得k的最小正整数值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=sin（$\frac{k}{5}$x+$\frac{π}{3}$），k＞0，
它的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{k}{5}}$=$\frac{10π}{k}$．
（2）若函数相邻两对称轴之间的距离是5，则函数的周期为$\frac{10π}{k}$=10，
求得k=π．
（3）根据在任意两个整数之间上的函数图象与x轴至少有两个交点，f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得$\frac{k}{5}$+$\frac{π}{3}$≥2π，k≥$\frac{25π}{3}$，∴k的最小正整数为27．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、正弦函数的图象的对称性，函数的零点的定义，属于基础题．