Question

2．已知函数f（x）=cos（π+x）cos（$\frac{3}{2}$π-x）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）讨论f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期和最大值；
（2）根据x的取值范围，利用正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调性．

解答 解：（1）函数f（x）=cos（π+x）cos（$\frac{3}{2}$π-x）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=-cosx•（-sinx）-$\frac{\sqrt{3}（1+cos2x）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
最大值是1；
（2）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]时，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
2x-$\frac{π}{3}$∈[0，π]；
令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{5π}{12}$，
∴x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）是单调增函数；
x∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，f（x）是单调减函数．

点评 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．