Question

20．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．
（1）求$\frac{sinA}{sinC}$的值；
（2）若cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得：sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，从而sinC=2sinA，由此能求出$\frac{sinA}{sinC}$的值．
（2）推导出c=2a，由余弦定理得a=1，c=2，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，
b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．
∴由正弦定理得：sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，
化简，得：sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sinC=2sinA，
∴$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{1}{2}$，∴c=2a，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∵cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，
∴4=a²+4a²-a²．解得a=1，c=2，
∵cosB=$\frac{1}{4}$，0＜B＜π，∴sinB=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查三角形中两角正弦值的比值的求法，考查三角形面积的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．