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【题目】已知椭圆的长轴与短轴之和为6,椭圆上任一点到两焦点 的距离之和为4.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若直线 与椭圆交于 两点, 在椭圆上,且 两点关于直线对称,问:是否存在实数,使,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) (2) 的值为

【解析】试题分析:

1)由题意可得 .则椭圆的标准方程为.

2设直线的方程为与椭圆方程联立可得直线与椭圆相交,则,解得,设 两点的坐标分别为 的中点为利用中点坐标公式结合韦达定理可得,点在直线上,代入直线方程可得.由弦长公式有..解方程可得即存在实数使.

试题解析:

1)由题意,

.

∴椭圆的标准方程为.

2 关于直线对称,

设直线的方程为

联立,消去

,解得

两点的坐标分别为

的中点为

又点也在直线上,

.

.

同理.

∴存在实数使,此时的值为.

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