【题目】已知函数,
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的极小值为0,
.
①求的值;
②若对于任意的,
,有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为(2)①
②
【解析】
(1)首先求出导函数,利用导数与函数单调性的关系即可求解.
(2)①由已知可得,
,求出导函数
,令
,利用导数与极值的关系即可求解; ②设
,根据题意只需
成立,求出
,结合①分类讨论,若
,当
时,
,不满足,故必有
,令
,解得
,根据
与定义域
的关系进行讨论:分
或
,利用导数求出
即可求解.
解:(1)由已知得,
令,方程
无实数解,
可知对任意都有
,所以函数
的单调减区间为
,无增区间.
(2)由已知化简得,
.
①,令
,解得
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
0 | |||
极小值 |
故极小值.因为极小值为0,所以
.
②设,
根据题意,对任意的,
,有
成立,
可得.
由①可知,当时,
在
处取得最小值0,
又因为在
上递增,所以当
时,
.
若,则当
时,
,不符题意,舍去.故必有
.
令,解得
.
下面根据与定义域
的关系进行讨论:
当
,即
时,
在
上恒成立,
因此在
,
上递减,从而当
,
时,
总有,故
符合题意;
当
,即
时,可知对任意的
,
恒成立,
因此在
,
内递增.
因为,所以当
时,
,不合题意.
综上,的取值范围是
.
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【题目】若函数在其定义域内给定区间
上存在实数
.满足
,则称函数
是区间
上的“平均值函数”,
是它的一个均值点.
(1)判断函数是否是区间
上的“平均值函数”,并说明理由
(2)若函数是区间
上的“平均值函数”,求实数
的取值范围.
(3)设函数是区间
上的“平均值函数”,1是函数
的一个均值点,求所有满足条件实数对
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)若两条互相垂直的直线都经过原点(两条直线与坐标轴都不重合)且与曲线分别交于点
(异于原点),且
,求这两条直线的直角坐标方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列前
项和为
,对任意
,点
都在函数
图像上.
(1)求、
、
,并猜想数列
的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)的猜想;
(3)若数列满足:
,
,且对任意的
,都有
、
、
成公比为
的等比数列,
、
、
成等差数列,设
,求数列
的通项公式.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:,
,
,
,
分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.
(Ⅱ)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有
的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
附表:
P( | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
,(其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图231所示.
图231
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学作为蓝色海洋教育特色学校,随机抽取100名学生,进行一次海洋知识测试,按测试成绩(假设考试成绩均在[65,90)内)分组如下:第一组[65,70),第二组 [70,75),第三组[75,80),第四组 [80,85),第五组 [85,90).得到频率分布直方图如图C34.
(1)求测试成绩在[80,85)内的频率;
(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组,定期在校内进行义务宣讲,并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队,求第四组至少有1名学生被抽中的概率.
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