Question

如图所示，已知三菱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长均为2，侧菱B₁B₁与底面ABC所成角为

π

3

，当侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC，平面B₁AC垂直于底面ABC时，三菱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：根据当侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC，平面B₁AC垂直于底面ABC时，侧面B₁BCC₁，与侧面A₁ACC₁面积相等，
得出sin∠B₁BC=

15

4

，利用平行四边形的面积公式求解侧面B₁BCC₁，与侧面A₁ACC₁面积，运用平行四边形的面积公式求解：S 侧面B1BA1A=4×2×

3

2

=4

3

．

解答： 解：∵当侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC，平面B₁AC垂直于底面ABC时，
∴侧面B₁BCC₁，与侧面A₁ACC₁面积相等，
∵已知三菱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长均为2，
侧菱B₁B₁与底面ABC所成角为

π

3

∴B₁A⊥面ABC，
∴∠B₁BA=60°，
在△B₁BA中，AB=2，
∴B₁A=2

3

，BB₁=4，
∵cos∠B₁BC=cos∠B₁BA•cos∠CAB=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
∴sin∠B₁BC=

15

4

，
∴S 侧面B1BA1A=4×2×

3

2

=4

3

，
S 侧面B1BCC1=S 侧面A1ACC1=4×2×

15

4

=2

15

，
∴三菱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积4

3

+4

15

，
故答案为：4

3

+4

15

，

点评：本题考察了特殊的斜三棱锥的侧面积的求解，关键是判断侧面的特性，边长的求解，属于中档题．