Question

如图1，在平面内，ABCD边长为2的正方形，ADD″A₁和CDD″C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D″与D′重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于正方形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D₁的大小为θ，当t=2时，求θ的余弦值；
（2）当t＞2时在线段D₁E上是否存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分所成的比λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先找到二面角E-AC-D₁的平面角，由余弦定理，求出平面角的余弦值，即可．
（2）先假设存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，建立空间直角坐标系，找到平面ACE的法向量，根据P分所成的比为λ，得=，计算出λ的值，若能算出，则存在，若计算不出，则不存在．
解答：解：（1）连接DB交AC于点O，连接DO，EO，在△ADC中，DO⊥AC，
同理可证，EO⊥AC
∴∠D₁OE为所求二面角的平面角θ
在△ADC中，∵AD₁=CD₁=AC=2，∴OD₁=
同理可得，OE=，又∵D₁E=2
∴在△D₁OE中，由余弦定理得，cosθ=
（2）设以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．BE=t
则，D（0，0，0），A（2，0，0），C（2，2，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），C1（0，2，2），E（2，2，t0
假设粗在满足题意的点P（x，y，z）
∵P分所成的比为λ，∴=?（x，y，z）=λ（2-x，2-y，t-z）
解得，x=，y=，z=
P（，，）
∴=（，，）
设平面ACE的法向量=（x，y，z）
=（-2，2，0），=（0，-2，-t）
?-2x+2y=0，?-2y-ty=0
⇒
令x0=y0=t，则，z0=-2，∴=（t，t，-2）
平面PA₁C₁∥平面EAC，得PA₁∥平面EAC
∴?--=0⇒λ=
∴在线段D₁E上是存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，P分所成的比λ=（t＞2）
点评：本题考查了二面角的平面角的求法，以及用空间向量判断立体几何位置关系．