Question

8．已知集合A={x|1＜x≤5}，集合B={x|$\frac{2x-5}{x-6}$≥0}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C={x|a≤x≤4a-3}，且C∪A=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可；
（2）由C与A的并集为A，得到C为A的子集，分C为空集与不为空集两种情况求出a的范围即可．

解答 解：（1）由B中不等式变形得：（2x-5）（x-6）≥0，
解得：x≤$\frac{5}{2}$或x＞6，即B={x|x≤$\frac{5}{2}$或x＞6}，
∵A={x|1＜x≤5}，
∴A∩B={x|1＜x≤$\frac{5}{2}$}；
（2）∵C∪A=A，∴C⊆A，
①当4a-3＜a，即a＜1时，C=∅，满足题意；
②当4a-3≥a，即a≥1时，要使C⊆A，则有$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{4a-3≤5}\end{array}\right.$，
解得：1＜a≤2，
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1）∪（1，2]．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．