Question

3．在△ABC中，cosA=-$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若AB边的长为11，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由cosA=-$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{4}{5}$，A，B∈（0，π），可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．
（II）由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$，b=$\frac{csinB}{sinC}$．S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{{c}^{2}}{2}$×$\frac{sinAsinB}{si{n}^{2}C}$．

解答 解：（I）∵cosA=-$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{4}{5}$，A，B∈（0，π），∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{12}{13}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$．
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{33}{65}$．
（II）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$，b=$\frac{csinB}{sinC}$．
S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{{c}^{2}}{2}$×$\frac{sinAsinB}{si{n}^{2}C}$=$\frac{1{1}^{2}}{2}$×$\frac{\frac{12}{13}×\frac{3}{5}}{（\frac{33}{65}）^{2}}$=234．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．