Question

14．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．若存在常数λ，使得|PT|²=λ|PA|•|PB|，则λ=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F₁、F₂构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标，设出点P的坐标，根据l′∥OT，写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|²、|PA|和|PB|，由|PT|²=λ|PA|•|PB|求出λ的值．

解答 解：设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c＞0，
则c²+b²=a²；
由题意，△F₁F₂C为直角三角形，
∴丨F₁F₂丨²=丨F₁C丨²+丨F₂C丨²，解得b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1；
代入直线l：y=-x+3，可得3x²-12x+18-2b²=0，
又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=12²-4×3（18-2b²）=0，解得b²=3，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
由b²=3，解得x=2，则y=-x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；
（Ⅱ）设P（x₀，3-x₀）在l上，由k_OT=$\frac{1}{2}$，l′平行OT，
得l′的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+2t}\\{y=3-{x}_{0}+t}\end{array}\right.$，
代入椭圆E中，得（x₀+2t）²+2（3-x₀+t）²=6，
整理得2t²+4t+${x}_{0}^{2}$-4x₀+4=0；
设两根为t_A，t_B，则有t_A•t_B=$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}}{2}$；
而|PT|²=（ $\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+（3-{x}_{0}-1）^{2}}$）²=2（x₀-2）²，
|PA|=$\sqrt{[{（x}_{0}+2{t}_{A}）-{x}_{0}]^{2}+[（3-{x}_{0}+{t}_{A}）-（3-{x}_{0}）^{2}]^{2}}$=|$\sqrt{5}$t_A|，
同理可知：|PB|=|$\sqrt{5}$ t_B|，
且|PT|²=λ|PA|•|PB|，
∴λ=$\frac{丨PT{丨}^{2}}{丨PA丨•丨PB丨}$=$\frac{2（{x}_{0}-2）^{2}}{\frac{5}{2}（{x}_{0}-2）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．