Question

16．已知数列{a_n}的通项a_n=n（n+4）（$\frac{2}{3}$）ⁿ，试问该数列{a_n}是否有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．

Answer 1

分析 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{n}^{2}+12n+10}{3{n}^{2}+12n}$，作差（3n²+12n）-（2n²+12n+10）=n²-10，即可比较出大小关系．

解答 解：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）（n+5）（\frac{2}{3}）^{n+1}}{n（n+4）（\frac{2}{3}）^{n}}$=$\frac{2{n}^{2}+12n+10}{3{n}^{2}+12n}$．
（3n²+12n）-（2n²+12n+10）
=n²-10，
∴当n=1，2，3时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＞1，a_n+1＞a_n，即a₁＜a₂＜a₃＜a₄；
当n≥4时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1，即a_n+1＜a_n，即a₄＞a₅＞a₆＞…．
∴当n=4时，数列{a_n}有最大项a₄．

点评 本题考查了数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．