Question

12．若函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（x∈R，ω＞0），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，则函数g（x）=f（x）-1在[-2π，0]上零点的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用两角和的正弦化简函数解析式，根据|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$求出函数周期，进一步求出ω，由g（x）=f（x）-1=0求出在[-2π，0]上的x值得答案．

解答 解：f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=$2sin（ωx+\frac{π}{3}）$．
∵|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，∴$\frac{T}{4}$=$\frac{3π}{4}$，则T=3π，
又∵ω＞0，∴ω=$\frac{2π}{3π}$=$\frac{2}{3}$．
令g（x）=f（x）-1=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）-1，
由g（x）=0，得sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$（k∈Z），
即x=3kπ-$\frac{π}{4}$或x=3kπ+$\frac{3π}{4}$（k∈Z）．
当且仅当k=0时，有x=-$\frac{π}{4}$符合题意．
∴函数g（x）=f（x）-1在[-2π，0]上零点的个数为1．
故选：B．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了函数零点的判断，解答此题的关键在于由|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$确定出函数最小正周期，是中档题．