Question

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

A．k＞ 3 2

B．k＜- 1 2

C．- 1 2 ＜k＜ 3 2

D．1≤k＜ 3 2

Answer 1

求导函数，f′(x)=4x-

1

x

当k=1时，（k-1，k+1）为（0，2），函数在(0，

1

2

)上单调减，在(

1

2

，2)上单调增，满足题意；
当k≠1时，∵函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数
∴f′（x）在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内有正也有负
∴f′（k-1）f′（k+1）＜0
∴(4k-4-

1

k-1

)(4k+4-

1

k+1

)＜0
∴

4k2-8k+3

k-1

×

4k2+8k+3

k+1

＜0
∴

(2k-3)(2k-1)(2k+3)(2k+1)

(k-1)(k+1)

＜0
∵k-1＞0
∴k+1＞0，2k+1＞0，2k+3＞0，
∴（2k-3）（2k-1）＞＜0，解得1＜k＜

3

2

综上知，1≤k＜

3

2

故选D．